website development software

Matematyka

w szkole podstawowej

Mobirise

TM+

Jedyny w swoim rodzaju desktopowy program do błyskawicznego opanowania tabliczki mnożenia. Ten program uczy, a nie wyłącznie sprawdza.

Mobirise

DP+

Unikatowy desktopowy program do błyskawicznej nauki dzielenia pisemnego. W odróżnieniu od innych, ten program uczy, a nie wyłącznie sprawdza.

Mobirise

KA+

Jedyny w swoim rodzaju desktopowy program do błyskawicznego oswojenia liczb w zakresie od 1 do 12.  

STRATEGIE UCZNIOWSKIE

Opanowywanie matematyki jest jak osuszanie i udeptywanie grząskiego terenu. Aby udeptać kolejny kawałek, trzeba stać na już dobrze udeptanym. Jeżeli nie pozwolimy solidnie udeptać jednego kawałka i zaczniemy delikwenta przeganiać po grząskim terenie, wtedy nigdzie nie będzie czuł się pewnie. Nie opanuje tego terenu. Ale przecież musi żyć na nim. Jak przeżyć na bagnach?... 

Podstawowa zasada ucznia zamieszkującego matematyczne bagna jest prosta: W miarę możności unikać pytania. W tym celu uczeń wybiera zawsze ostatnie ławki i siedzi tak, aby być niewidocznym lub przynajmniej nie rzucać się w oczy. Głowę ma zwykle schyloną i nigdy nie patrzy prosto w oczy swojemu oprawcy. Kiedy nauczyciel zmierza w jego kierunku, uczeń kuli się jeszcze bardziej, instynktownie usiłując zniknąć z pola widzenia. Skuteczność tych sposobów jest oczywiście ograniczona, więc uczeń stosuje równolegle różne strategie wspomagające. Zasłużoną popularnością cieszą się sprawdzone przez dekady nieprzerwanych doświadczeń strategie zniechęcające nauczyciela do zadawania pytań, polegające na uchodzeniu za tępego od urodzenia, niezdolnego i niewyuczalnego. Uczeń zapytany mimo wszystko, stosuje kolejne sprawdzone strategie. Cel jest zawsze ten sam. Chodzi wyłącznie o to, aby powrócić do okopów, nie otrzymawszy jedynki. Uczeń nie próbuje oczywiście ustalać odpowiedzi za pomocą logicznego rozumowania, nawet poganiany słowami: „No, pomyśl! Pomyśl!”. Dokładnie z tych samych powodów, nikt z nas dorosłych, wsadzony do kabiny wojskowego śmigłowca nie próbuje odlatywać, nawet poganiany słowami: „No, odlatuj! Odlatuj!” Uczeń będzie więc raczej próbował trafić w oczekiwaną odpowiedź na drodze losowej, a przynajmniej zyskać na czasie w nadziei otrzymania podpowiedzi. Tajne badania przeprowadzone w polskich szkołach pozwoliły na wyróżnienie 10 zasadniczych strategii przetrwania, stosowanych przez uczniów na matematycznych bagnach. 
  1. SZTUKA MIMICZNA pt. MYŚLĄCY UCZEŃ - Uczeń zapytany, czyli wyrwany do odpowiedzi, marszczy gwałtownie czoło, pociera je, drapie się po głowie, patrzy z natężeniem w sufit lub w okno, czasem nawet mruczy coś pod nosem, że niby oto dokonuje jakichś operacji umysłowych. Być może sam jest przekonany o tym, iż na tych właśnie czynnościach polega myślenie, gdyż widywał już myślących ludzi i ci tak mniej więcej się zachowywali. Uczeń w ten sposób zyskuje na czasie, wykorzystując przysługujące każdemu prawo do chwili namysłu przed udzieleniem odpowiedzi. Zawsze jest nadzieja, że w ciągu owej chwili dotrze zbawienna podpowiedź.
  2. NIE ROZUMIEM PYTANIA - Każdy ma święte prawo prosić o powtórzenie lub przeformułowanie pytania. Zyskane zostaje kilka sekund cennego czasu.
    Pomysł tej strategii zrodził się z obserwacji uczniów naprawdę myślących, którym inne ujęcie pytania może istotnie ułatwić rozumowanie. W wersji zaawansowanej, w klasach wyższych, spotykamy w tym miejscu oświadczenie w rodzaju Nie rozumiem tego zadania lub Nie rozumiem, o co chodzi w tym zadaniu. Uczeń następnie zapytany przez nauczyciela, czego konkretnie nie rozumie, odpowiada zwykle formułą: „W ogóle tego zadania nie rozumiem”. Zwróćmy uwagę, jak chytrze problem został przerzucony na twórcę zadania. To on, autor owego zadania, wyraził się niejasno i mętnie. Gdyby autorzy zadań formułowali je porządnie i klarownie, nasz delikwent z pewnością by je rozwiązywał.
  3. NIE WIEM, JAK TO POWIEDZIEĆ - Czyli innymi słowy wiem, znam odpowiedź, rozumiem zagadnienie, tylko niestety mam drobny problem techniczny z ujęciem tej odpowiedzi w słowa. Dlatego nic nie powiem. Ale przecież wiem!
    Strategia ta ma swoje źródło w sytuacjach, w których naprawdę jest trudno sformułować opis tego, co się czuje. Uczeń sądzi, że – skoro czasami czuje coś wyraźnie i nie umie tego opisać – można także coś wiedzieć w obszarze matematyki i nie umieć tego wypowiedzieć. Oczywiście pomysł taki może się zrodzić jedynie w umyśle kogoś, kto w ogóle nie ma pojęcia, o co w matematyce chodzi. Imponujący jest przy tym upór, z jakim uczeń potrafi powtarzać, że zna odpowiedź. Nieszczęsny jest bowiem przekonany, że o zawartości własnego umysłu można twierdzić dowolne rzeczy, bo i tak nikt tam nie zajrzy. 
  4. BRAK KONTAKTU (GŁAZ i GŁUPEK) - Niektórzy uczniowie po prostu milczą jak głaz i nie próbują nic udawać, o nic nie pytają, nie wdają się w żadne rozmowy z oprawcą. Z kamienną miną czekają na lepsze czasy. Czasami jedynie wzruszają ramionami i/lub składają krótkie oświadczenie Nie wiem, a dopiero potem milczą. Głaz i koniec. Dobrze znana jest zniechęcająca funkcja opisanej strategii.
    Inna optycznie, ale identyczna w założeniach jest strategia, istotą której jest granie głupka. Uczeń wybucha na przykład niepohamowanym śmiechem albo stroi głupawe miny. Strategia trudniejsza od poprzedniej pod względem aktorskim, ale za to skuteczniejsza, bo o wiele bardziej zniechęcająca od głazu. 
  5. ODPOWIEDŹ ŚMIECIOWA (JUNK ANSWER) - Należy do grupy strategii typu „Coś powiem – może trafię”. Są one popularne wśród dzieci i młodzieży, gdyż stwarzają określoną szansę na sukces. Tu uczeń nie próbuje już pasywnie zyskiwać na czasie, lecz stara się aktywnie trafić w odpowiedź oczekiwaną przez nauczyciela. Odpowiedź śmieciowa to wypowiedzenie czegoś pierwszego z brzegu, co robi wrażenie, że w ogóle mogłoby być odpowiedzią. W praktyce przypomina to metodę pierwszych skojarzeń, stosowaną w psychologii.
    Pytamy na przykład w czwartej klasie, ile jest siedem podzielone przez zero i otrzymujemy natychmiastową odpowiedź: Zero. (Taką odpowiedź nazywamy górską, bo góry zawsze odpowiadają echem.) Jeżeli nasza mina nie wyraża aprobaty dla wymienionego wyniku, otrzymujemy kolejną błyskawiczną odpowiedź: Siedem. Dalszy brak aprobaty powoduje przejście do innych strategii, przy czym najczęściej stosowana jest tu formuła: No to już nie wiem. Zauważmy zabawne użycie słowa już. Oznacza ono, że uczeń wcześniej jakoby wiedział, ale jego wiedza nie zyskała aprobaty. Obserwacja ta jest dosyć przerażająca, dowodzi bowiem, że uczeń nazywa wiedzą ten swój umysłowy śmietnik, z którego wyciąga odpowiedzi.
    W podanym przykładzie odpowiedzi śmieciowe akurat nie trafiały w prawidłowy wynik, ale warto zwrócić uwagę na skuteczność tej strategii przy pytaniu, ile jest 25 podzielone przez 5. Nawet echo w górach czasem podpowiada prawidłowo. Wystarczy głośno zawołać na przykład: 64 przez 8.
  6. PER ANALOGIAM - Czasami uczeń bywa na tyle zmyślny, że potrafi dostrzec pewną analogię w dwóch kolejnych pytaniach. Oto przed chwilą udzielono prawidłowej odpowiedzi na pytanie, ile kątów ostrych ma trójkąt ostrokątny, która brzmi: Trzy. W tych okolicznościach odpowiedź ucznia na pytanie, ile kątów rozwartych ma trójkąt rozwartokątny, najpewniej brzmieć będzie: Też trzy. Uczeń oczywiście nie próbuje wyobrażać sobie czy szkicować żadnego trójkąta, nawet jeśli odróżnia optycznie kąty ostre od rozwartych. Jego problemem nie są bowiem żadne trójkąty, ani inne wielokąty – jego problemem jest udzielenie odpowiedzi, która nie jest niedostateczna. 
  7. MAMROTANIE I WYRAŻENIA OSŁABIAJĄCE - Mamrotanie to strategia wspomagająca wszelkie strategie bazujące na zgadywaniu. Polega na wyartykułowaniu odpowiedzi na tyle niewyraźnie, aby nie przyjmować żadnej odpowiedzialności za jej treść, a równocześnie na tyle głośno, aby w razie trafienia można się było do niej przyznać.
    Podobne cele są też realizowane za pomocą dodawania do każdej wypowiedzi odpowiednich wyrażeń osłabiających. Odpowiedzi brzmią wtedy na przykład: Chyba siedem albo Mnie się wydaje, że osiem.
  8. STRATEGIA DRAPIEŻNA - Strategia drapieżna jest zaawansowaną odmianą zgadywania i stosowana jest wtedy, gdy od delikwenta oczekuje się wykonania pewnych obliczeń na danych wielkościach oraz podania wyniku tych obliczeń. Strategia ta polega na drapieżnym rzuceniu się na treść zadania i wykonaniu pewnych operacji arytmetycznych na liczbach wymienionych w treści. Wybór działań zależy od zauważonych w tekście odpowiednich wyrażeń językowych, a gdy nie ma takich wskazówek, wtedy wybór jest przypadkowy.
    Weźmy najpierw prosty przykład: Ile jest dwa do trzeciej? Uczeń nie zadaje sobie pytania, co to właściwie znaczy, nie ustala, że chodzi o dwa podniesione do trzeciej potęgi, nie uświadamia sobie, co znaczy potęga. Czuje jedynie, że ma wykonać jakieś działanie na liczbach 2 i 3, czuje też, że nie wygląda to na dodawanie czy odejmowanie. A ponieważ w jego śmietniku najbliżej dwójki i trójki leży akurat szóstka, więc odpowiada: Sześć. Oto inny przykład: Ołówek ma 3 cm długości, a długopis jest od niego o 9 cm dłuższy. Ile razy ołówek jest krótszy od długopisu? Zadano to pytanie około stu uczniom z klas IV-VII szkół warszawskich i ponad 70% odpowiedzi brzmiało: Trzy. Wydaje się to nieprawdopodobne, ale do takiego właśnie wyniku prowadzi niezwykle rozpowszechniona drapieżna strategia rozwiązywania zadań. Drapieżny umysł ucznia widzi bowiem treść przytoczonego zadania mniej więcej tak:
    ~~~~~~ 3 ~~~~~~ 9 ~~~~~~ Ile razy ~~~~~~ ?
    Przy takiej optyce odpowiedź Trzy wydaje się już zupełnie naturalna i rozsądna.
    W przeprowadzonych badaniach pojawiała się także intrygująca odpowiedź Dwadzieścia siedem. Taki wynik narzuca się uczniom, którzy drapieżność posuwają do tego stopnia, że zadanie wygląda w ich oczach tak:
    ~~~~~~ 3 ~~~~~~ 9 ~~~~~~ razy ~~~~~~ ?
  9. PAPUZIE POPISY - Po kilku latach spędzonych na lekcjach matematyki, nawet ci okopani w ostatnich ławkach, przyswajają sobie parę papuzich schematów, umożliwiających podanie prawidłowego wyniku przy pewnych bardzo prostych, typowych zadaniach. Nauczyciele, którzy przecież muszą mieć jakieś wyniki nauczania, mówią często rodzicom uczniów tak zwanych zagrożonych: Niech się nauczy rozwiązywać przynajmniej proste, typowe zadania. Nie będziemy się tu wdawać w zagadnienie terminologiczne, czy skuteczne używanie papuziego schematu można poprawnie nazwać rozwiązywaniem zadań.
    Najprostszy, a zarazem klasyczny papuzi schemat to papuzi algorytm skracania, polegający na skreśleniu dwóch podobnie wyglądających obiektów matematycznych, gdy jedno położone jest wyżej, a drugie niżej, przy czym jeden z obiektów jest położony bardziej w prawo. Takie schematy nie mają oczywiście nic wspólnego ze skracaniem, a ogólniej z myśleniem, rozumieniem i wnioskowaniem, i jako takie są poza szkołą absolutnie bezużyteczne. Można się jedynie pocieszać, że krótkotrwała umiejętność wyrecytowania części układu nerwowego glisty jest równie bezużyteczna.
    Strategia papuzich popisów ma zastosowanie przy „rozwiązywaniu” zadań, gdzie nie wystarcza jeden papuzi schemat. Uczeń oblicza wtedy to, co umie, stosując swoje papuzie schematy do tych fragmentów problemu, które wydają mu się znajome. Jeżeli na przykład delikwent posiada pewną wprawę w zastosowaniu twierdzenia Pitagorasa (szczególnie, gdy szczęśliwie użyto liter a, b i c), wtedy widząc dwa boki trójkąta prostokątnego z dumą ustali długość trzeciego boku, niezależnie od tego, czy ustalenie takie jest do czegokolwiek w zadaniu potrzebne. Cóż innego ma biedak robić? A przecież zawsze istnieje nadzieja, że wykonane rachunki są jednak częścią prawidłowego rozwiązania.
  10. PROŚBA O STARTER - Strategia ta jest z powodzeniem stosowana wobec problemów, gdzie nie widać znajomych obszarów dla popisania się jakimś papuzim schematem. Uczeń oczekuje wskazówki w rodzaju Oblicz najpierw objętość albo Zastosuj twierdzenie Talesa, aby w ogóle cokolwiek zrobić. I dzięki temu uniknąć jedynki, co – jak wiemy – jest nadrzędnym celem wszystkich strategii. Zwróćmy uwagę, na ukryte i niezgodne z prawdą, chociaż nierzadko szczere treści przekazywane w oświadczeniu Nie wiem, jak zacząć. Ma to znaczyć przecież między innymi, że dany uczeń w zasadzie umie rozwiązywać zadania, zna szereg twierdzeń, ogólnie jest niezły, tylko akurat w tym zadaniu jakoś wyjątkowo nie może wpaść na właściwy trop. Oczywiście, jak już zacznie, to pokaże, co umie. Niektórzy uczniowie w ramach tej strategii zadają konkretniejsze pytania w rodzaju: Czy to jest zadanie na dzielenie? lub w klasach wyższych Czy to jest zadanie na Pitagorasa?
Przedstawiłem tu tylko najpowszechniejsze strategie przetrwania lekcji matematyki. Uczniowie stosują przecież jeszcze wiele innych sposobów, jak bezczelność, wszelkie formy oszukiwania, czy branie na litość. Można tylko wyrazić nadzieję, że uczniowie stosujący opisane tu strategie nikomu nie wydają się zabawni. Istotnie, nie ma tu nic do śmiechu. Jeżeli zaobserwujemy u dziecka stosowanie którejkolwiek z opisanych wyżej strategii, to jedyny wniosek, jaki możemy wysnuć jest smutny, a nawet zatrważający. Umysł tego dziecka został bowiem okrutnie okaleczony, a beztroscy winowajcy nie tylko pozostają bezkarni, ale zajmują się nadal systematycznym okaleczaniem kolejnych roczników naszych dzieci.